Adatelemzés 1. - Konzultációs Feladatok

Vizsga Segédlet: Képletgyűjtemény

1-2. Feladat: Leíró statisztika

Átlag: \( \bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{N} \)
Szórás: \( \sigma = \sqrt{\frac{\sum f_i x_i^2}{N} - \bar{x}^2} \)
Módusz: \( Mo = x_{i,0} + \frac{k_1}{k_1+k_2} \cdot h \)
Kvartilisek: \( Q_q = x_{i,0} + \frac{\frac{q \cdot N}{4} - f_{i-1}'}{f_i} \cdot h \)
A-mutató: \( A = \frac{\bar{x} - Mo}{\sigma} \)

Jelölések: \(f_i\): gyakoriság; \(x_i\): érték/osztályközép; \(N\): összesen; \(x_{i,0}\): osztályköz alsó határa; \(h\): osztályköz hossza; \(k_1, k_2\): szomszédos gyakoriság különbségek; \(f_{i-1}'\): előző kumulált gyakoriság.

3. Feladat: Indexszámítás

Értékindex: \( I_v = \frac{\sum p_1 q_1}{\sum p_0 q_0} \)
L-Ár / P-Ár: \( I_p^L = \frac{\sum p_1 q_0}{\sum p_0 q_0} \); \( I_p^P = \frac{\sum p_1 q_1}{\sum p_0 q_1} \)
L-Vol / P-Vol: \( I_q^L = \frac{\sum q_1 p_0}{\sum q_0 p_0} \); \( I_q^P = \frac{\sum q_1 p_1}{\sum q_0 p_1} \)
Fisher-index: \( I^F = \sqrt{I^L \cdot I^P} \)
Összefüggés: \( I_v = I_p^L \cdot I_q^P = I_p^P \cdot I_q^L \)

Jelölések: \(p\): ár; \(q\): mennyiség; \(0\): bázis; \(1\): tárgy; \(L\): Laspeyres; \(P\): Paasche.

4-5. Feladat: Valószínűség

Z-érték: \( z = \frac{x - \mu}{\sigma} \)
Kombináció: \( \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \)
Hipergeom.: \( P(X=k) = \frac{\binom{K}{k} \cdot \binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}} \)
Bayes: \( P(B_i|A) = \frac{P(B_i) \cdot P(A|B_i)}{P(A)} \)

Jelölések: \(\mu\): átlag; \(\sigma\): szórás; \(N\): összes; \(K\): kedvező a sokaságban; \(n\): minta; \(k\): kedvező a mintában.

6. Feladat: Becsléstan

Std. hiba (p): \( s_p = \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} \cdot \sqrt{\frac{N-n}{N-1}} \)
Std. hiba (x): \( s_{\bar{x}} = \frac{s}{\sqrt{n}} \cdot \sqrt{\frac{N-n}{N-1}} \)
Hiba: \( \Delta = z \cdot s_{becslő} \)

Jelölések: \(N\): sokaság; \(n\): minta; \(p\): mintaarány; \(s\): mintaszórás; \(z\): megbízhatósághoz tartozó érték (pl. 95% → 1,96).

Standard Normális Eloszlás Táblázat (Φ(z))

z	0.00	0.01	0.02	0.03	0.04	0.05	0.06	0.07	0.08	0.09
0.0	0.5000	0.5040	0.5080	0.5120	0.5160	0.5199	0.5239	0.5279	0.5319	0.5359
0.1	0.5398	0.5438	0.5478	0.5517	0.5557	0.5596	0.5636	0.5675	0.5714	0.5753
0.2	0.5793	0.5832	0.5871	0.5910	0.5948	0.5987	0.6026	0.6064	0.6103	0.6141
0.3	0.6179	0.6217	0.6255	0.6293	0.6331	0.6368	0.6406	0.6443	0.6480	0.6517
0.4	0.6554	0.6591	0.6628	0.6664	0.6700	0.6736	0.6772	0.6808	0.6844	0.6879
0.5	0.6915	0.6950	0.6985	0.7019	0.7054	0.7088	0.7123	0.7157	0.7190	0.7224
0.6	0.7257	0.7291	0.7324	0.7357	0.7389	0.7422	0.7454	0.7486	0.7517	0.7549
0.7	0.7580	0.7611	0.7642	0.7673	0.7704	0.7734	0.7764	0.7794	0.7823	0.7852
0.8	0.7881	0.7910	0.7939	0.7967	0.7995	0.8023	0.8051	0.8078	0.8106	0.8133
0.9	0.8159	0.8186	0.8212	0.8238	0.8264	0.8289	0.8315	0.8340	0.8365	0.8389
1.0	0.8413	0.8438	0.8461	0.8485	0.8508	0.8531	0.8554	0.8577	0.8599	0.8621
1.1	0.8643	0.8665	0.8686	0.8708	0.8729	0.8749	0.8770	0.8790	0.8810	0.8830
1.2	0.8849	0.8869	0.8888	0.8907	0.8925	0.8944	0.8962	0.8980	0.8997	0.9015
1.3	0.9032	0.9049	0.9066	0.9082	0.9099	0.9115	0.9131	0.9147	0.9162	0.9177
1.4	0.9192	0.9207	0.9222	0.9236	0.9251	0.9265	0.9279	0.9292	0.9306	0.9319
1.5	0.9332	0.9345	0.9357	0.9370	0.9382	0.9394	0.9406	0.9418	0.9429	0.9441
1.6	0.9452	0.9463	0.9474	0.9484	0.9495	0.9505	0.9515	0.9525	0.9535	0.9545
1.7	0.9554	0.9564	0.9573	0.9582	0.9591	0.9599	0.9608	0.9616	0.9625	0.9633
1.8	0.9641	0.9649	0.9656	0.9664	0.9671	0.9678	0.9686	0.9693	0.9699	0.9706
1.9	0.9713	0.9719	0.9726	0.9732	0.9738	0.9744	0.9750	0.9756	0.9761	0.9767
2.0	0.9772	0.9778	0.9783	0.9788	0.9793	0.9798	0.9803	0.9808	0.9812	0.9817
2.1	0.9821	0.9826	0.9830	0.9834	0.9838	0.9842	0.9846	0.9850	0.9854	0.9857
2.2	0.9861	0.9864	0.9868	0.9871	0.9875	0.9878	0.9881	0.9884	0.9887	0.9890
2.3	0.9893	0.9896	0.9898	0.9901	0.9904	0.9906	0.9909	0.9911	0.9913	0.9916
2.4	0.9918	0.9920	0.9922	0.9925	0.9927	0.9929	0.9931	0.9932	0.9934	0.9936
2.5	0.9938	0.9940	0.9941	0.9943	0.9945	0.9946	0.9948	0.9949	0.9951	0.9952
2.6	0.9953	0.9955	0.9956	0.9957	0.9959	0.9960	0.9961	0.9962	0.9963	0.9964
2.7	0.9965	0.9966	0.9967	0.9968	0.9969	0.9970	0.9971	0.9972	0.9973	0.9974
2.8	0.9974	0.9975	0.9976	0.9977	0.9977	0.9978	0.9979	0.9979	0.9980	0.9981
2.9	0.9981	0.9982	0.9982	0.9983	0.9984	0.9984	0.9985	0.9985	0.9986	0.9986
3.0	0.9987	0.9987	0.9987	0.9988	0.9988	0.9989	0.9989	0.9989	0.9990	0.9990
3.1	0.9990	0.9991	0.9991	0.9991	0.9992	0.9992	0.9992	0.9992	0.9993	0.9993
3.2	0.9993	0.9993	0.9994	0.9994	0.9994	0.9994	0.9994	0.9995	0.9995	0.9995
3.3	0.9995	0.9995	0.9995	0.9996	0.9996	0.9996	0.9996	0.9996	0.9996	0.9997
3.4	0.9997	0.9997	0.9997	0.9997	0.9997	0.9997	0.9997	0.9997	0.9997	0.9998
3.5	0.9998	0.9998	0.9998	0.9998	0.9998	0.9998	0.9998	0.9998	0.9998	0.9998

Használat: A szélső oszlopban keresd ki a z első tizedesjegyét, a felső sorban a másodikat. A metszetben lévő érték Φ(z).

1. feladat: Box-and-Whiskers diagram

10 fős csapat ZH-ra készülési idejei (órában): 16, 9, 11, 15, 8, 14, 13, 11, 21, 19.
Készítsük el a Boxplot diagramot!

a) Box-and-Whiskers diagram készítése:

1. Rendezett minta:
8, 9, 11, 11, 13, 14, 15, 16, 19, 21

2. 5-szám összefoglaló meghatározása (Interpolációs módszerrel):

Minimum: 8
Alsó kvartilis (\(Q_1\)): Rangszám: \( 0,25 \cdot (10+1) = 2,75 \).
Érték: \( 9 + 0,75 \cdot (11 - 9) = \mathbf{10,5} \)
Medián (\(Me\)): Rangszám: \( 0,5 \cdot (10+1) = 5,5 \).
Érték: \( 13 + 0,5 \cdot (14 - 13) = \mathbf{13,5} \)
Felső kvartilis (\(Q_3\)): Rangszám: \( 0,75 \cdot (10+1) = 8,25 \).
Érték: \( 16 + 0,25 \cdot (19 - 16) = \mathbf{16,75} \)
Maximum: 21

3. Terjedelmi mutatók és Outlierek:
\( IQR = Q_3 - Q_1 = 16,75 - 10,5 = \mathbf{6,25} \)
Outlier határ (alsó): \( 10,5 - 1,5 \cdot 6,25 = 1,125 \)
Outlier határ (felső): \( 16,75 + 1,5 \cdot 6,25 = 26,125 \)
Mivel minden adat a határokon belül van, nincs kiugró érték.

Box-and-Whiskers diagram (Interpolációs módszerrel)

b) Mekkora a Terjedelem?

\( R = x_{max} - x_{min} = 21 - 8 = \mathbf{13 \text{ óra}} \)

Értelmezés: A ZH-ra készülés leghosszabb és legrövidebb ideje között 13 óra különbség van.

2. feladat: Osztályközös gyakorisági sor (Költések)

Egy 100 fős iskolában feljegyezték a diákok napi költését. Számítson átlagot, móduszt és mediánt!

Költség (Ft)	Diákok száma (\(f_i\))	Osztályközép (\(x_i\))	\(f_i \cdot x_i\)	\(f_i \cdot x_i^2\)	Kumulált gyak. (\(f_i'\))
0 – 249	20	125	2500	312500	20
250 – 499	40	375	15000	5625000	60
500 – 749	30	625	18750	11718750	90
750 – 999	10	875	8750	7656250	100
Összesen	100	-	45000	25312500	-

1. Átlag (\(\bar{x}\)) kiszámítása:
\( \bar{x} = \frac{45000}{100} = \mathbf{450 \text{ Ft}} \)

2. Szórás (\(\sigma\)) kiszámítása:
Képlet: \( \sigma = \sqrt{\frac{\sum f_i \cdot x_i^2}{N} - \bar{x}^2} \)
Variancia: \( \sigma^2 = \frac{25312500}{100} - 450^2 = 253125 - 202500 = \mathbf{50625} \)
Szórás: \( \sigma = \sqrt{50625} = \mathbf{225 \text{ Ft}} \)
Értelmezés: A diákok napi költése átlagosan 225 Ft-tal tér el az átlagos (450 Ft-os) értéktől.

3. Medián (\(Me\)) és Kvartilisek (\(Q_1, Q_3\)) meghatározása:
Mivel osztályközös adatokról van szó, interpolációt használunk:

Alsó kvartilis (\(Q_1\)): Rangszám: \( 100 / 4 = 25 \). Az első osztályközben (0-249) 20-an vannak, a 25. diák a 250-499 sávba esik.
\( Q_1 = 250 + \frac{25 - 20}{40} \cdot 250 = 250 + 31,25 = \mathbf{281,25 \text{ Ft}} \)
Medián (\(Me\)): Rangszám: \( 100 / 2 = 50 \). Szintén a 250-499 sáv.
\( Me = 250 + \frac{50 - 20}{40} \cdot 250 = 250 + 187,5 = \mathbf{437,5 \text{ Ft}} \)
Felső kvartilis (\(Q_3\)): Rangszám: \( 3 \cdot 100 / 4 = 75 \). Ez a 500-749 sávba esik (mivel előtte 60-an vannak).
\( Q_3 = 500 + \frac{75 - 60}{30} \cdot 250 = 500 + 125 = \mathbf{625 \text{ Ft}} \)

4. Módusz (\(Mo\)) meghatározása:
A legtöbb diák (40 fő) a 250-499 sávban van.
\( Mo = 250 + \frac{40 - 20}{(40 - 20) + (40 - 30)} \cdot 250 \approx \mathbf{416,67 \text{ Ft}} \)

5. További mutatók:

Terjedelem (\(R\)): \( x_{max} - x_{min} = 1000 - 0 = \mathbf{1000 \text{ Ft}} \)
Relatív szórás (\(V\)): \( \frac{\sigma}{\bar{x}} = \frac{225}{450} = \mathbf{0,5 \text{ (50\%)}} \)
Értelmezés: A szórás az átlag 50%-át teszi ki (közepes szóródás).
A-mutató (Aszimmetria): \( \frac{\bar{x} - Mo}{\sigma} = \frac{450 - 416,67}{225} = \mathbf{0,148} \)
Értelmezés: Mivel \( A > 0 \), az eloszlás enyhén jobbra aszimmetrikus.

Gyakorisági hisztogram (A tengelyen a Ft, függőlegesen a létszám)

Összegzés: Az átlagos költés 450 Ft. A diákok 25%-a 281 Ft-nál kevesebbet, 75%-a pedig 625 Ft-nál kevesebbet költ. Az eloszlás enyhén jobbra aszimmetrikus és 50%-os relatív szóródást mutat.

3. feladat: Indexszámítás és Hatásfelbontás

Két termék (K és L) januári és márciusi adatai alapján számítsunk egyedi és együttes indexeket, valamint bontsuk fel a forgalomváltozást!

Termék	Egységár (\(p\))		Mennyiség (\(q\))
Termék	Jan (\(p_0\))	Márc (\(p_1\))	Jan (\(q_0\))	Márc (\(q_1\))
K	360	210	40	55
L	240	300	20	22

1. Egyedi indexek:

K termék: \( i_{p,K} = 210/360 = \mathbf{0,5833 \text{ (58,3\%)}} \); \( i_{q,K} = 55/40 = \mathbf{1,375 \text{ (137,5\%)}} \)
L termék: \( i_{p,L} = 300/240 = \mathbf{1,25 \text{ (125\%)}} \); \( i_{q,L} = 22/20 = \mathbf{1,1 \text{ (110\%)}} \)

2. Együttes Árindexek:

Laspeyres (Bázis): \( I_p^L = \frac{\sum p_1 q_0}{\sum p_0 q_0} = \frac{210 \cdot 40 + 300 \cdot 20}{360 \cdot 40 + 240 \cdot 20} = \frac{14400}{19200} = \mathbf{0,75 \text{ (75\%)}} \)
Paasche (Tárgy): \( I_p^P = \frac{\sum p_1 q_1}{\sum p_0 q_1} = \frac{210 \cdot 55 + 300 \cdot 22}{360 \cdot 55 + 240 \cdot 22} = \frac{18150}{25080} = \mathbf{0,7237 \text{ (72,4\%)}} \)

3. Együttes Volumenindexek:

Laspeyres (Bázis): \( I_q^L = \frac{\sum q_1 p_0}{\sum q_0 p_0} = \frac{55 \cdot 360 + 22 \cdot 240}{19200} = \frac{25080}{19200} = \mathbf{1,3063 \text{ (130,6\%)}} \)
Paasche (Tárgy): \( I_q^P = \frac{\sum q_1 p_1}{\sum q_0 p_1} = \frac{18150}{14400} = \mathbf{1,2604 \text{ (126\%)}} \)

4. Forgalomváltozás elemzése:

Értékindex (\(I_v\)): \( \frac{\sum p_1 q_1}{\sum p_0 q_0} = \frac{18150}{19200} = \mathbf{0,9453} \) → 5,47%-os csökkenés.
Abszolút változás (\(\Delta V\)): \( 18150 - 19200 = \mathbf{-1050 \text{ Ft}} \).

5. Hatásfelbontás (Mivel változott?):

Volumenhatás: \( \Delta V_q = \sum q_1 p_0 - \sum q_0 p_0 = 25080 - 19200 = \mathbf{+5880 \text{ Ft}} \)
Árhatás: \( \Delta V_p = \sum q_1 p_1 - \sum q_1 p_0 = 18150 - 25080 = \mathbf{-6930 \text{ Ft}} \)
Ellenőrzés: \( 5880 + (-6930) = -1050 \text{ Ft} \).

Összegzés: Bár a forgalom volumene átlagosan kb. 30,6%-kal nőtt, az árak átlagos 27,6%-os (Paasche) csökkenése miatt a cég bevétele végül 5,47%-kal (1050 Ft-tal) elmaradt a januáritól.

4. feladat: Normális eloszlás (Italautomata)

Egy italautomata 5550 ml-t tölt palackokba, a szórása 250 ml. Mennyi a valószínűsége, hogy az üvegben a mennyiség kevesebb mint 5380 ml?

Adatok:
Átlag (\(\mu\)): 5550 ml
Szórás (\(\sigma\)): 250 ml
Keresett érték (\(x\)): 5380 ml

1. Standardizálás:
Alkalmazzuk a \( z = \frac{x - \mu}{\sigma} \) képletet:
\( z = \frac{5380 - 5550}{250} = \frac{-170}{250} = \mathbf{-0,68} \)

2. Valószínűség meghatározása (a rész):
Azt keressük, hogy \( P(X < 5380) = P(Z < -0,68) \).
Mivel a táblázat csak pozitív értékeket tartalmaz, a szimmetria tulajdonságát használjuk:
\( P(Z < -0,68) = 1 - \Phi(0,68) \)
A standard normális eloszlás táblázatából: \( \Phi(0,68) \approx 0,7517 \).
\( P = 1 - 0,7517 = \mathbf{0,2483 \text{ (24,83\%)}} \)

3. Intervallum valószínűség (b rész):
Kérdés: \( P(5250 < X < 5850) = ? \)
Standardizálás mindkét határra:
\( z_1 = \frac{5250 - 5550}{250} = \frac{-300}{250} = \mathbf{-1,2} \)
\( z_2 = \frac{5850 - 5550}{250} = \frac{300}{250} = \mathbf{1,2} \)
Mivel szimmetrikus az intervallum az átlagra (\(\pm 1,2 \sigma\)):
\( P(-1,2 < Z < 1,2) = \Phi(1,2) - \Phi(-1,2) = 2 \cdot \Phi(1,2) - 1 \)
A táblázatból: \( \Phi(1,2) \approx 0,8849 \).
\( P = 2 \cdot 0,8849 - 1 = 1,7698 - 1 = \mathbf{0,7698 \text{ (76,98\%)}} \)

4. Inverz feladat (c rész):
Kérdés: Melyik az a mennyiség (\(x\)), aminél az üvegek 87,7%-a kevesebbet tartalmaz?
Ez azt jelenti, hogy \( P(X < x) = 0,877 \).

1. Keressük ki a táblázatból a 0,877-hez tartozó \(z\) értéket:
\( \Phi(z) = 0,877 \implies \mathbf{z = 1,16} \)

2. Számítsuk ki az \(x\) értéket az \( x = \mu + z \cdot \sigma \) képlettel:
\( x = 5550 + 1,16 \cdot 250 = 5550 + 290 = \mathbf{5840 \text{ ml}} \)

Összegzés: A palackok 87,7%-ában legfeljebb 5840 ml ital található.

5. feladat: Teljes valószínűség tétele (Tollak)

Három gyártó tollakat szállít. Az 1. gyártó a készlet 48%-át szállítja 0,5% hibaaránnyal. A 2. gyártó 10%-ot szállít 1% hibaaránnyal. A 3. gyártónál a tollak 0,32%-a hibás. Mennyi a valószínűsége, hogy egy véletlenszerűen kiválasztott toll hibás lesz?

Események és adatok:
\(B_1\): 1. gyártó tollát választjuk (\(P(B_1) = 0,48\), hiba: \(P(A|B_1) = 0,005\))
\(B_2\): 2. gyártó tollát választjuk (\(P(B_2) = 0,10\), hiba: \(P(A|B_2) = 0,01\))
\(B_3\): 3. gyártó tollát választjuk (\(P(B_3) = 1 - 0,48 - 0,10 = \mathbf{0,42}\), hiba: \(P(A|B_3) = 0,0032\))
\(A\): A kiválasztott toll hibás.

1. Teljes valószínűség képlete:
\( P(A) = P(B_1) \cdot P(A|B_1) + P(B_2) \cdot P(A|B_2) + P(B_3) \cdot P(A|B_3) \)

2. Számítás:
\( P(A) = 0,48 \cdot 0,005 + 0,10 \cdot 0,01 + 0,42 \cdot 0,0032 \)
\( P(A) = 0,0024 + 0,001 + 0,001344 = \mathbf{0,004744} \)

Végeredmény (a rész): \( P(A) = \mathbf{0,004744 \text{ (0,4744\%)}} \)

3. Bayes-tétel (b rész):
Kérdés: Ha tudjuk, hogy a toll hibás (\(A\)), mennyi a valószínűsége, hogy a 3. gyártótól (\(B_3\)) származik?
Képlet: \( P(B_3|A) = \frac{P(B_3) \cdot P(A|B_3)}{P(A)} \)

Behelyettesítés:
\( P(B_3|A) = \frac{0,42 \cdot 0,0032}{0,004744} = \frac{0,001344}{0,004744} \approx \mathbf{0,2833} \)

Végeredmény (b rész): \( P(B_3|A) \approx \mathbf{28,33\%} \)

Értelmezés: Bár a 3. gyártó szállítja a tollak 42%-át, a viszonylag alacsony hibaaránya miatt csak kb. 28,3% az esélye annak, hogy egy talált hibás toll tőlük származik.

6. feladat: Intervallumbecslés (Szabadságok)

900 alkalmazottból (\(N\)) 150-et (\(n\)) kérdeztünk meg a kivett szabadságaikról.
a) Adjon 95%-os intervallumbecslést azon dolgozók arányára, akik legfeljebb 8 napot voltak szabadságon!
b) Adjon 95%-os intervallumbecslést a dolgozók átlagos szabadságára!

Szabadság (nap, \(x_i\))	Dolgozók száma (\(f_i\))	\(f_i \cdot x_i\)	\(f_i \cdot (x_i-\bar{x})^2\)
6	9	54	81
7	15	105	60
8	36	288	36
9	33	297	0
10	30	300	30
11	18	198	72
12	9	108	81
Összesen	150	1350	360

a) Aránybecslés (Legfeljebb 8 nap):

1. Mintaarány (\(p\)):
Esetek száma: \( 9 + 15 + 36 = 60 \); \( p = 60/150 = \mathbf{0,4} \)

2. Standard hiba és CI:
\( s_p = \sqrt{\frac{0,4 \cdot 0,6}{150}} \cdot \sqrt{\frac{900-150}{899}} \approx \mathbf{0,0365} \)
Hibahatár (\(z=1,96\)): \( \Delta = 1,96 \cdot 0,0365 = \mathbf{0,0715} \)
Intervallum: \(\mathbf{[32,85\%; 47,15\%]}\)

b) Átlagbecslés:

1. Mintaátlag (\(\bar{x}\)):
\( \bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{n} = \frac{1350}{150} = \mathbf{9 \text{ nap}} \)

2. Mintaszórás (\(s\)):
Variancia: \( s^2 = \frac{\sum f_i (x_i - \bar{x})^2}{n-1} = \frac{360}{149} \approx \mathbf{2,416} \)
Szórás: \( s = \sqrt{2,416} \approx \mathbf{1,554 \text{ nap}} \)

3. Átlag standard hibája (\(s_{\bar{x}}\)):
\( s_{\bar{x}} = \frac{s}{\sqrt{n}} \cdot \sqrt{\frac{N-n}{N-1}} = \frac{1,554}{\sqrt{150}} \cdot \sqrt{\frac{900-150}{899}} \)
\( s_{\bar{x}} = 0,1269 \cdot 0,9134 \approx \mathbf{0,1159 \text{ nap}} \)

4. Konfidencia intervallum:
Hibahatár: \( \Delta = 1,96 \cdot 0,1159 = \mathbf{0,227 \text{ nap}} \)
Intervallum: \( [9 - 0,227; 9 + 0,227] = \mathbf{[8,773; 9,227] \text{ nap}} \)

Végeredmény: 95%-os megbízhatósággal állíthatjuk, hogy az összes alkalmazott átlagos szabadsága **8,77 és 9,23 nap** közé esik.

7. feladat: Elméleti összefoglaló

A konzultáción érintett legfontosabb elméleti fogalmak: Indexek, Eseményalgeba, Ismérvek és Skálák.

Fogyasztói Árindex (CPI): A lakosság által saját felhasználásra vásárolt termékek és szolgáltatások időbeli árváltozását méri. Értelmezése: pl. az 1,036 érték azt jelenti, hogy az árak átlagosan 3,6%-kal nőttek.
Eseményalgeba alapjai:
- Unió (\(A \cup B\)): Az az esemény, amely akkor következik be, ha legalább az egyik (\(A\) vagy \(B\)) bekövetkezik.
- Metszet (\(A \cap B\)): Az az esemény, amely akkor következik be, ha mindkét esemény egyszerre bekövetkezik.
- Ellentett esemény (\(\bar{A}\)): Az az esemény, amely pontosan akkor következik be, ha \(A\) nem következik be. Valószínűsége: \(P(\bar{A}) = 1 - P(A)\).
Ismérvek típusai:
- Minőségi (Kvalitatív): Szöveges tulajdonságok (pl. nem, hajszín, lakhely).
- Mennyiségi (Kvantitatív): Számszerű adatok (pl. életkor, jövedelem, darabszám).
Mérési skálák (hierarchiája):
1. Névleges (Nominális): Csak csoportosítás, nincs sorrend (pl. rendszám, szakok).
2. Sorrendi (Ordinális): Rangsorolható kategóriák (pl. iskolai végzettség, katonai rendfokozat).
3. Különbségi (Intervallum): Van mértékegység, de nincs természetes 0 pont (pl. Celsius fok, naptári év).
4. Arány skála: Van valódi 0 pont, a hányados is értelmezhető (pl. bér, súly, távolság).
Aszimmetria (Skewness) értelmezése:
- Balra aszimmetrikus: \( \bar{x} < Me < Mo \) (\( A < 0 \)). A "farok" balra nyúlik.
- Szimmetrikus: \( \bar{x} = Me = Mo \) (\( A = 0 \)).
- Jobbra aszimmetrikus: \( Mo < Me < \bar{x} \) (\( A > 0 \)). A "farok" jobbra nyúlik.
Szóródás és Homogenitás: A Relatív szórás (\(V\)) megmutatja a sokaság egységességét. Ha \( V < 0,1 \), a sokaság erősen homogén. Ha \( V > 0,3 \), a sokaság heterogén (szétszórt).
Becsléstan – Finit korrekció: A korrekciós tényezőt (\( \sqrt{\frac{N-n}{N-1}} \)) akkor kell használni, ha a mintavételi arány meghaladja az 5%-ot (\( n/N > 0,05 \)). Ha ez alatt van, a tényező értéke közel 1, így elhagyható.
Kombinatórika röviden:
- Permutáció (\(n!\)): Adott elem összes lehetséges sorrendje.
- Variáció: \(n\) elemből \(k\)-at választunk, a sorrend számít.
- Kombináció \(\binom{n}{k}\): \(n\) elemből \(k\)-at választunk, a sorrend NEM számít.
Standard hiba (\(s_{\bar{x}}\)): Azt mutatja meg, hogy a mintából számított átlagok mennyire szóródnak a valódi sokasági átlag körül. Ezt használjuk a becslés megbízhatóságának meghatározásához.