Adatelemzés 1. Gyakorlás

1. feladat: Ismérvek osztályozása

Osztályozza adattípus (ismérv) és mérési módszer (skála) szerint az alábbi ismérveket!

Ismérv	Adattípus	Mérési skála	Logika
Villanykörte márkája	Minőségi	Névleges (Nominális)	Csak csoportosítás, nincs sorrend.
Éves értékesítés értéke	Mennyiségi	Arány skála	Pénzösszeg, van természetes nulla pont.
Hotel csillagszáma	Minőségi	Sorrendi (Ordinális)	Kategóriák, de a sorrend fontos (több jobb).
Hőmérséklet (°C)	Mennyiségi	Különbségi (Intervallum)	A 0 fok nem a hőmérséklet hiányát jelenti.
Ember életkora	Mennyiségi	Arány skála	Időtartam, a 0 az élet kezdetét jelöli.

2. feladat: Aszimmetrikus eloszlás

Egy sokaság jobbra aszimmetrikus. Adja meg a medián (\(Me\)), az átlag (\(\bar{x}\)) és a módusz (\(Mo\)) sorrendjét!

Végeredmény: \( Mo < Me < \bar{x} \)

Jobbra aszimmetrikus (pozitív) eloszlás grafikonja

Jobbra aszimmetrikus (pozitív aszimmetria) esetén az eloszlásnak "hosszú farka" van a nagyobb értékek felé.

Módusz (\(Mo\)): A görbe csúcsa, a leggyakoribb érték. Itt a legkisebb.
Átlag (\(\bar{x}\)): A ritka, de nagyon nagy értékek (a farok) jelentősen elhúzzák az átlagot felfelé.
Medián (\(Me\)): A középső érték, ami szimmetria esetén megegyezne a többivel, de itt a módusz és az átlag közé szorul.

3. feladat: Aszimmetria mérése (A-mutató)

100 hallgató életkora alapján jellemezze az eloszlás aszimmetriáját az A-mutatóval!

Életkor (év)	Hallgatók száma (fő)
18	3
19	41
20	31
21	11
22	7
23	6
24	1
Összesen	100

\( A = \frac{\bar{x} - Mo}{\sigma} \)

1. Átlag kiszámítása:
\( \bar{x} = \frac{18 \cdot 3 + 19 \cdot 41 + 20 \cdot 31 + 21 \cdot 11 + 22 \cdot 7 + 23 \cdot 6 + 24 \cdot 1}{100} = \mathbf{20 \text{ év}} \)

2. Módusz meghatározása:
A legnagyobb gyakoriság (41 fő) a 19 éveseknél van, tehát \( Mo = \mathbf{19 \text{ év}} \).

3. Szórás (\(\sigma\)) részletes kiszámítása:
A szórást a varianciából (\(\sigma^2\)) számoljuk, amelynek képlete: \( \sigma^2 = \frac{\sum f_i \cdot x_i^2}{N} - \bar{x}^2 \)

\( 18^2 \cdot 3 = 972 \)
\( 19^2 \cdot 41 = 14801 \)
\( 20^2 \cdot 31 = 12400 \)
\( 21^2 \cdot 11 = 4851 \)
\( 22^2 \cdot 7 = 3388 \)
\( 23^2 \cdot 6 = 3174 \)
\( 24^2 \cdot 1 = 576 \)
Összesen (\(\sum f_i x_i^2\)): 40162

Variancia: \( \sigma^2 = \frac{40162}{100} - 20^2 = 401,62 - 400 = \mathbf{1,62} \)
Szórás: \( \sigma = \sqrt{1,62} \approx \mathbf{1,27 \text{ év}} \).

4. A-mutató behelyettesítése:
\( A = \frac{20 - 19}{1,27} = \mathbf{0,79} \).

Értelmezés: Mivel \(A > 0\), az eloszlás jobbra aszimmetrikus.

4. feladat: Osztályközös statisztika

Egy vállalat dolgozóinak munkahelyre való utazási idő szerinti megoszlása. Készítsen hisztogramot, számítsa ki az átlagot, móduszt, mediánt és a 9. decilist!

Utazási idő (perc)	Dolgozók száma (fő) - \(f_i\)	Kumulált gyakoriság - \(f_i'\)
0 – 9	20	20
10 – 19	30	50
20 – 29	40	90
30 – 39	50	140
40 – 49	10	150
Összesen	150	-

a) Hisztogram készítése:
A hisztogramnál a vízszintes tengelyre az osztályközöket (idő), a függőlegesre a gyakoriságot (fő) mérjük fel. Mivel az osztályközök hossza azonos (10 perc), a téglalapok magassága közvetlenül arányos a dolgozók számával. A legmagasabb oszlop a 30-39 perces sáv lesz.

b) Középértékek számítása:

Átlag (\(\bar{x}\)): Az osztályközök közepeivel (4.5, 14.5, 24.5, 34.5, 44.5) számolva:
\( \bar{x} = \frac{4.5 \cdot 20 + 14.5 \cdot 30 + 24.5 \cdot 40 + 34.5 \cdot 50 + 44.5 \cdot 10}{150} = \frac{3675}{150} = \mathbf{24,5 \text{ perc}} \) *(A kerekített 25 perc is elfogadható a vizsgán, ha 5, 15... értékekkel számolsz).*
Módusz (\(Mo\)): A leggyakoribb osztályköz a 30-39 (\(f_i=50\)).
\( Mo = x_{i,0} + \frac{f_i - f_{i-1}}{(f_i - f_{i-1}) + (f_i - f_{i+1})} \cdot h = 30 + \frac{50-40}{(50-40) + (50-10)} \cdot 10 = \mathbf{32 \text{ perc}} \)
Medián (\(Me\)): Az 50%-os határ a 75. dolgozó (\(150/2=75\)). Ő a 20-29 sávba esik (mivel előtte 50-en vannak, ebben a sávban pedig a 90. főig jutunk).
\( Me = x_{i,0} + \frac{N/2 - f_{i-1}'}{f_i} \cdot h = 20 + \frac{75 - 50}{40} \cdot 10 = 20 + 6,25 = \mathbf{26,25 \text{ perc}} \)

c) 9. Decilis (\(D_9\)) kiszámítása:
A 9. decilis az az érték, amelynél a dolgozók 90%-a kevesebbet utazik.
Rangszám: \( \frac{9 \cdot N}{10} = \frac{9 \cdot 150}{10} = \mathbf{135} \).
A 135. dolgozó a 30-39 perces osztályközbe esik (a kumulált gyakoriság itt 140).

\( D_9 = x_{i,0} + \frac{135 - f_{i-1}'}{f_i} \cdot h = 30 + \frac{135 - 90}{50} \cdot 10 = 30 + 9 = \mathbf{39 \text{ perc}} \)

Értelmezés: A dolgozók 90%-a legfeljebb 39 percet utazik a munkahelyére.

5. feladat: Indexszámítás alapok

Egy cég termelési és értékesítési adatai 2015-ben és 2016-ban. Jellemezze a változásokat egyedi indexekkel és összetett árindexekkel!

Termék	Termelés mennyisége (\(q\))		Értékesítési ár (\(p\))
Termék	2015 (\(q_0\))	2016 (\(q_1\))	2015 (\(p_0\))	2016 (\(p_1\))
A	36	11	400	650
B	24	36	200	250

a) Egyedi indexek számítása:
Az egyedi index megmutatja egyetlen termék változását a két időszak között.

A termék mennyiségi változása (\(i_q\)):
\( i_q = \frac{q_1}{q_0} = \frac{11}{36} = \mathbf{0,3056 \text{ (30,56\%)}} \)
Értelmezés: Az A termék termelése az előző évinek kb. 30,6%-ára esett vissza (69,44%-os csökkenés).
B termék árváltozása (\(i_p\)):
\( i_p = \frac{p_1}{p_0} = \frac{250}{200} = \mathbf{1,25 \text{ (125\%)}} \)
Értelmezés: A B termék ára 25%-kal növekedett.

b) Összetett árindexek:

Laspeyres árindex (\(I_p^L\)): Bázisidőszaki súlyozású.
\( I_p^L = \frac{\sum p_1 q_0}{\sum p_0 q_0} = \frac{650 \cdot 36 + 250 \cdot 24}{400 \cdot 36 + 200 \cdot 24} = \frac{29400}{19200} = \mathbf{1,5313 \text{ (153,13\%)}} \)

Paasche árindex (\(I_p^P\)): Tárgyidőszaki súlyozású.
\( I_p^P = \frac{\sum p_1 q_1}{\sum p_0 q_1} = \frac{650 \cdot 11 + 250 \cdot 36}{400 \cdot 11 + 200 \cdot 36} = \frac{16150}{11600} = \mathbf{1,3922 \text{ (139,22\%)}} \)

Eltérés magyarázata: A két index közötti különbség oka a termelési szerkezet változása. Laspeyres a régi (2015-ös), Paasche az új (2016-os) mennyiségeket tekinti súlynak. Mivel az A termék (aminél nagyobb volt az áremelés) mennyisége drasztikusan lecsökkent, a tárgyidőszaki súlyozású Paasche index kisebb áremelkedést mutat.

6. feladat: Összetett indexek (Érték, Ár, Volumen)

Egy cég két terméket értékesít. Határozza meg és értelmezze a két termékre együttesen az értékindexet, valamint a tárgyidőszaki súlyozású ár- és volumen indexet!

Termék	Egyedi árindex (\(i_p\))	Folyóáras eladási érték (\(v = p \cdot q\))
Termék	Egyedi árindex (\(i_p\))	2017 (\(v_0\))	2018 (\(v_1\))
A	115% (1,15)	56 millió Ft	65 millió Ft
B	98% (0,98)	80 millió Ft	88 millió Ft
Összesen	-	136	153

a) Értékindex (\(I_v\)) meghatározása:
Az értékindex a teljes árbevétel változását mutatja meg.

\( I_v = \frac{\sum v_1}{\sum v_0} = \frac{153}{136} = \mathbf{1,125 \text{ (112,5\%)}} \)

Értelmezés: A cég teljes árbevétele 12,5%-kal növekedett 2017-ről 2018-ra.

b) Tárgyidőszaki súlyozású indexek:

1. Paasche árindex (\(I_p^P\)):
Mivel rendelkezünk a tárgyidőszaki értékekkel (\(v_1\)) és az egyedi árindexekkel (\(i_p\)), a harmonikus formát használjuk:
\( I_p^P = \frac{\sum v_1}{\sum \frac{v_1}{i_p}} = \frac{153}{\frac{65}{1,15} + \frac{88}{0,98}} = \frac{153}{56,52 + 89,80} = \frac{153}{146,32} = \mathbf{1,0457 \text{ (104,57\%)}} \)
Értelmezés: Az árak átlagosan 4,57%-kal nőttek.

2. Paasche volumenindex (\(I_q^P\)):
A Paasche volumenindex a tárgyidőszaki árakat használja súlyként: \( I_q^P = \frac{\sum q_1 p_1}{\sum q_0 p_1} \).
A nevezőt (\(\sum q_0 p_1\)) úgy kapjuk meg, hogy a bázisértékeket megszorozzuk az egyedi árindexekkel:
\( \sum q_0 p_1 = \sum (q_0 p_0) \cdot i_p = 56 \cdot 1,15 + 80 \cdot 0,98 = 64,4 + 78,4 = \mathbf{142,8} \)
\( I_q^P = \frac{153}{142,8} = \mathbf{1,0714 \text{ (107,14\%)}} \)
Értelmezés: Az értékesített mennyiség (volumen) átlagosan 7,14%-kal nőtt.

Ellenőrzés: \( I_v = I_q^L \cdot I_p^P \) vagy \( I_v = I_q^P \cdot I_p^L \).
Jelen esetben: \( 1,0714 \cdot I_p^L = 1,125 \), amiből a bázissúlyozású árindex is visszaszámolható lenne.