Adatelemzés 1. Gyakorlás - 2. Rész Megoldások

1. feladat: Teljes valószínűség és Bayes-tétel

Az óvodások 69%-a csokievő. A csokievők 75%-ának, a nemevők 22%-ának rosszak a fogai.
a) Mennyi a valószínűsége, hogy egy választott ovisnak rosszak a fogai?
b) Ha rosszak a fogai, mennyi a valószínűsége, hogy csokievő?

Események definiálása:
\(B_1\): csokievő (\(P(B_1) = 0,69\))
\(B_2\): nem csokievő (\(P(B_2) = 1 - 0,69 = 0,31\))
\(A\): rossz fogú

a) Teljes valószínűség tétele:
\( P(A) = P(B_1) \cdot P(A|B_1) + P(B_2) \cdot P(A|B_2) \)
\( P(A) = 0,69 \cdot 0,75 + 0,31 \cdot 0,22 = 0,5175 + 0,0682 = \mathbf{0,5857 \text{ (58,57\%)}} \)

b) Bayes-tétel:
\( P(B_1|A) = \frac{P(B_1) \cdot P(A|B_1)}{P(A)} \)
\( P(B_1|A) = \frac{0,69 \cdot 0,75}{0,5857} = \frac{0,5175}{0,5857} \approx \mathbf{0,8836 \text{ (88,36\%)}} \)

2. feladat: Normális eloszlás

A só töltési tömege normális eloszlást követ: \(\mu = 400 \text{ g}, \sigma = 10 \text{ g}\).
a) Több, mint 392 g valószínűsége?
b) 385 és 415 g közé esés valószínűsége?
c) Mekkora tömegnél nehezebb a zacskók 91%-a?

Standardizálás képlete: \( z = \frac{x - \mu}{\sigma} \)

a) \( P(X > 392) = ? \)
\( z = \frac{392 - 400}{10} = -0,8 \)
\( P(Z > -0,8) = P(Z < 0,8) = \Phi(0,8) = \mathbf{0,7881 \text{ (78,81\%)}} \)

b) \( P(385 < X < 415) = ? \)
\( z_1 = \frac{385 - 400}{10} = -1,5; \quad z_2 = \frac{415 - 400}{10} = 1,5 \)
\( P(-1,5 < Z < 1,5) = \Phi(1,5) - \Phi(-1,5) = 2 \cdot \Phi(1,5) - 1 = 2 \cdot 0,9332 - 1 = \mathbf{0,8664 \text{ (86,64\%)}} \)

c) Inverz feladat: \( P(X > x) = 0,91 \)
Ez azt jelenti, hogy \( P(X < x) = 0,09 \). Mivel 0,5 alatti, a \( z \) érték negatív lesz.
A táblázatban a \( 1 - 0,09 = 0,91 \)-hez tartozó értéket keressük: \( \Phi(1,34) \approx 0,91 \).
Tehát \( z = -1,34 \).
\( -1,34 = \frac{x - 400}{10} \implies x = 400 - 13,4 = \mathbf{386,6 \text{ g}} \)

3. feladat: Konfidencia intervallumok

\( N=1500, n=110 \). Életkor megoszlás a táblázatban.
a) 97%-os konfidencia intervallum az átlagéletkorra.
b) 95%-os konfidencia intervallum a 40 évnél fiatalabbak arányára.

Életkor	f_i (db)	Osztályközép (x_i)
20 - 29	12	25
30 - 39	30	35
40 - 49	41	45
50 - 59	22	55
60 - 69	5	65
Összesen	110	-

a) Átlag becslése:
Mintaátlag: \( \bar{x} \approx 43 \text{ év} \). Mintaszórás: \( s = 10,3 \text{ év} \).
Finit korrekcióval számolt standard hiba:
\( s_{\bar{x}} = \frac{s}{\sqrt{n}} \cdot \sqrt{\frac{N-n}{N-1}} = \frac{10,3}{\sqrt{110}} \cdot \sqrt{\frac{1500-110}{1500-1} } \approx 0,946 \)
97%-hoz tartozó \( z \) érték (\( \alpha/2 = 0,015 \)): \( z_{0,985} = 2,17 \).
Hiba: \( \Delta = 2,17 \cdot 0,946 = 2,05 \).
Intervallum: \( [43 - 2,05; 43 + 2,05] = \mathbf{[40,95; 45,05] \text{ év}} \)

b) Arány becslése (40 év alatt):
40 év alattiak száma: \( 12 + 30 = 42 \). Mintaarány: \( p = 42/110 = 0,3818 \).
Standard hiba arányra:
\( s_p = \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} \cdot \sqrt{\frac{N-n}{N-1}} = \sqrt{\frac{0,38 \cdot 0,62}{110}} \cdot 0,963 \approx 0,0446 \)
95%-hoz tartozó \( z \): 1,96. Hiba: \( \Delta = 1,96 \cdot 0,0446 = 0,0874 \).
Intervallum: \( [0,38 - 0,0874; 0,38 + 0,0874] = \mathbf{[0,2926; 0,4674] \text{ (29,3\% - 46,7\%)}} \)