Adatelemzés 1. Gyakorlás - 3. Rész (2025.05.20 Vizsga)

1. feladat: Javítási idők elemzése

Egy egyetemen 80 hibajavítás idejét mérték fel. Számítsa ki a móduszt, átlagot, szórást, A-mutatót, terjedelmet és relatív szórást!

Javítási idő (perc)	Esetek száma (\(f_i\))	Osztályközép (\(x_i\))	\(f_i \cdot x_i\)	\(f_i \cdot x_i^2\)
10 – 19	15	15	225	3375
20 – 29	28	25	700	17500
30 – 39	18	35	630	22050
40 – 49	12	45	540	24300
50 – 59	7	55	385	21175
Összesen	80	-	2480	88400

a) Átlag, Módusz, Szórás:
Átlag: \( \bar{x} = 2480 / 80 = \mathbf{31 \text{ perc}} \)
Módusz (20-29 osztályköz): \( Mo = 20 + \frac{28-15}{(28-15)+(28-18)} \cdot 10 = 20 + \frac{13}{23} \cdot 10 = \mathbf{25,65 \text{ perc}} \)
Variancia: \( \sigma^2 = \frac{88400}{80} - 31^2 = 1105 - 961 = 144 \)
Szórás: \( \sigma = \sqrt{144} = \mathbf{12 \text{ perc}} \)

b) Aszimmetria (A-mutató):
\( A = \frac{31 - 25,65}{12} = \mathbf{0,446} \) (Jobbra aszimmetrikus eloszlás).

c) Terjedelem és Relatív szórás:
Terjedelem: \( 60 - 10 = \mathbf{50 \text{ perc}} \)
Relatív szórás: \( V = \frac{12}{31} = \mathbf{0,3871 \text{ (38,71\%)}} \)

2. feladat: Termékek indexszámítása

Két termék (X, Y) értékesítési adatai 2022-2023-ban. Számítsa ki az árindexeket, volumenindexeket és a forgalomváltozás összetevőit!

Termék	\(q_0\)	\(q_1\)	\(p_0\)	\(p_1\)
X	45	54	28	24
Y	28	33	30	33

a) Egyedi árindexek:
\( i_{p,X} = 24/28 = \mathbf{0,8571 \text{ (-14,3\%)}} \); \( i_{p,Y} = 33/30 = \mathbf{1,1 \text{ (+10\%)}} \)

b) Összetett volumenindexek:
Laspeyres: \( I_q^L = \frac{54 \cdot 28 + 33 \cdot 30}{45 \cdot 28 + 28 \cdot 30} = \frac{2502}{2100} = \mathbf{1,1914 \text{ (119,1\%)}} \)
Paasche: \( I_q^P = \frac{54 \cdot 24 + 33 \cdot 33}{45 \cdot 24 + 28 \cdot 33} = \frac{2385}{2004} = \mathbf{1,1901 \text{ (119\%)}} \)

c) Forgalomváltozás felbontása (\( \Delta V = \Delta V_q + \Delta V_p \)):
Teljes változás: \( 2385 - 2100 = \mathbf{285 \text{ ezer Ft}} \)
Volumenhatás (\( \Delta V_q = \sum q_1 p_0 - \sum q_0 p_0 \)): \( 2502 - 2100 = \mathbf{+402 \text{ ezer Ft}} \)
Árhatás (\( \Delta V_p = \sum q_1 p_1 - \sum q_1 p_0 \)): \( 2385 - 2502 = \mathbf{-117 \text{ ezer Ft}} \)
Ellenőrzés: \( 402 + (-117) = 285 \).

3. feladat: Kombinatórika / Valószínűség

32 alkalmazott, 8-nak nincs nyelvvizsgája. 6 főt delegálnak véletlenszerűen. Mennyi a valószínűsége, hogy minden delegáltnak van nyelvvizsgája?

Hipergeometrikus eloszlásról van szó, mivel visszatevés nélkül választunk.

\( P(X=0) = \frac{\binom{K}{k} \cdot \binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}} = \frac{\binom{24}{6} \cdot \binom{8}{0}}{\binom{32}{6}} \)

\( \binom{24}{6} = 134\,596 \)
\( \binom{32}{6} = 906\,192 \)
\( P = 134596 / 906192 = \mathbf{0,1485 \text{ (14,85\%)}} \)

4. feladat: Normális eloszlás (Dinnyék)

Átlagos tömeg: \(\mu = 9,75 \text{ kg}\), szórás: \(\sigma = 1,5 \text{ kg}\).

a) \( P(X < 8,1) = ? \)
\( z = \frac{8,1 - 9,75}{1,5} = -1,1 \)
\( P(Z < -1,1) = 1 - \Phi(1,1) = 1 - 0,8643 = \mathbf{0,1357 \text{ (13,57\%)}} \)

b) \( P(7,65 < X < 11,85) = ? \)
\( z_1 = \frac{7,65 - 9,75}{1,5} = -1,4 \); \( z_2 = \frac{11,85 - 9,75}{1,5} = 1,4 \)
\( P = 2 \cdot \Phi(1,4) - 1 = 2 \cdot 0,9192 - 1 = \mathbf{0,8384 \text{ (83,84\%)}} \)

c) Dinnyék 5%-a könnyebb ennél a tömegnél:
\( P(Z < z) = 0,05 \implies \Phi(-z) = 0,95 \implies -z = 1,645 \implies z = -1,645 \)
\( -1,645 = \frac{x - 9,75}{1,5} \implies x = 9,75 - 1,645 \cdot 1,5 = \mathbf{7,28 \text{ kg}} \)

5. feladat: Konfidencia intervallum (Életkor)

\( N=1800, n=160 \). Számítson 98%-os CI-t a 20 évnél idősebbek arányára, és 96%-ost a számukra!

20 évnél idősebbek száma a mintában: \( 33+29+19+10+3 = 94 \).
Mintaarány: \( p = 94/160 = \mathbf{0,5875} \).

a) 98%-os CI az arányra:
\( z_{0,99} = 2,33 \). Standard hiba (finit korrekcióval):
\( s_p = \sqrt{\frac{0,5875 \cdot 0,4125}{160}} \cdot \sqrt{\frac{1800-160}{1799}} = 0,0389 \cdot 0,955 = 0,0371 \)
Hiba: \( 2,33 \cdot 0,0371 = 0,0864 \).
Intervallum: \( [0,5875 - 0,0864; 0,5875 + 0,0864] = \mathbf{[50,11\%; 67,39\%]} \)

b) 96%-os CI a létszámra:
\( z_{0,98} = 2,05 \). Hiba az arányra ennél a szintnél: \( 2,05 \cdot 0,0371 = 0,076 \).
Létszám becslése: \( N \cdot p \pm N \cdot \Delta_p \)
\( 1800 \cdot 0,5875 \pm 1800 \cdot 0,076 = 1057,5 \pm 136,8 \)
Intervallum: \( \mathbf{[921; 1194] \text{ fő}} \)

6. feladat: Elméleti kérdések

Ismérvek és Skálák:
- Rendfokozat: Minőségi, Sorrendi (Ordinális)
- Bruttó bér: Mennyiségi, Arány skála
- Születés évszáma: Mennyiségi, Különbségi (Intervallum)
- Irányítószám: Minőségi, Névleges (Nominális)
Ellentett esemény (\( \bar{A} \)): Az az esemény, amely pontosan akkor következik be, ha \( A \) nem. Valószínűsége: \( P(\bar{A}) = 1 - P(A) \).
Standard hiba: A becslőfüggvény (pl. mintaátlag) eloszlásának szórása. Azt mutatja meg, hogy a mintából számított érték átlagosan mennyire tér el a valódi sokasági értéktől.
Fogyasztói árindex (1,036): A vizsgált időszakban a fogyasztói árak átlagosan 3,6%-kal emelkedtek a bázisidőszakhoz képest.

Szorgalmi feladat

Tárgyidőszaki súlyozású együttes ár- és volumenindexek kiszámítása és értelmezése.

Termék	2015. évi termelési érték (\(v_0\))	2016. évi termelési érték (\(v_1\))	Egyedi árindex (\(i_p\))
A	156 MFt	185 MFt	98% (0,98)
B	145 MFt	173 MFt	105% (1,05)
Összesen	301 MFt	358 MFt	-

1. Paasche árindex (\(I_p^P\)):
\( I_p^P = \frac{\sum v_1}{\sum \frac{v_1}{i_p}} = \frac{185 + 173}{185/0,98 + 173/1,05} = \frac{358}{188,78 + 164,76} = \frac{358}{353,54} = \mathbf{1,0126 \text{ (101,26\%)}} \)
Értelmezés: Az árak átlagosan 1,26%-kal nőttek.

2. Paasche volumenindex (\(I_q^P\)):
\( I_q^P = \frac{\sum v_1}{\sum v_0 \cdot i_p} = \frac{358}{156 \cdot 0,98 + 145 \cdot 1,05} = \frac{358}{152,88 + 152,25} = \frac{358}{305,13} = \mathbf{1,1733 \text{ (117,33\%)}} \)
Értelmezés: A termelés volumene átlagosan 17,33%-kal emelkedett.