Adatelemzés 1. Gyakorlás - 4. Rész (2024.12.14 Feladatsor)

1. feladat: Iskolai büfé költések

100 diák napi költését jegyezték fel. Számítsa ki a mediánt, átlagot, szórást és az A-mutatót!

Költség (Ft)	Diákok száma (\(f_i\))	Osztályközép (\(x_i\))	\(f_i \cdot x_i\)	\(f_i \cdot x_i^2\)
0 – 249	20	125	2500	312500
250 – 499	40	375	15000	5625000
500 – 749	30	625	18750	11718750
750 – 999	10	875	8750	7656250
Összesen	100	-	45000	25312500

a) Átlag, Medián, Szórás:
Átlag: \( \bar{x} = 45000 / 100 = \mathbf{450 \text{ Ft}} \)
Medián: A 50. diák a 250-499 sávban van.
\( Me = 250 + \frac{50 - 20}{40} \cdot 250 = 250 + 187,5 = \mathbf{437,5 \text{ Ft}} \)
Variancia: \( \sigma^2 = \frac{25312500}{100} - 450^2 = 253125 - 202500 = 50625 \)
Szórás: \( \sigma = \sqrt{50625} = \mathbf{225 \text{ Ft}} \)

b) Aszimmetria (A-mutató):
Módusz: \( Mo = 250 + \frac{40-20}{(40-20)+(40-30)} \cdot 250 = 250 + \frac{20}{30} \cdot 250 = \mathbf{416,67 \text{ Ft}} \)
\( A = \frac{450 - 416,67}{225} = \mathbf{0,148} \) (Enyhe pozitív aszimmetria).

2. feladat: K és L termékek indexei

Számítsa ki az értékindexet, valamint a Laspeyres és Paasche árindexeket!

Termék	\(p_0\)	\(p_1\)	\(q_0\)	\(q_1\)
K	360	210	40	55
L	240	300	20	22

a) Értékindex (\(I_v\)):
\( I_v = \frac{210 \cdot 55 + 300 \cdot 22}{360 \cdot 40 + 240 \cdot 20} = \frac{18150}{19200} = \mathbf{0,9453 \text{ (94,53\%)}} \)

b) Árindexek:
Laspeyres: \( I_p^L = \frac{210 \cdot 40 + 300 \cdot 20}{19200} = \frac{14400}{19200} = \mathbf{0,75 \text{ (75\%)}} \)
Paasche: \( I_p^P = \frac{18150}{360 \cdot 55 + 240 \cdot 22} = \frac{18150}{25080} = \mathbf{0,7237 \text{ (72,37\%)}} \)

c) Összefüggés: Az értékindex az árindex és a volumenindex szorzata (\( I_v = I_p \cdot I_q \)). Mivel az árak jelentősen csökkentek (kb. 25-27%-kal), hiába nőtt a volumen, a forgalom összességében 5,47%-kal visszaesett.

3. feladat: Üdítőautomata (Normális eloszlás)

\(\mu = 4450 \text{ ml}, \sigma = 250 \text{ ml}\). Számítson valószínűséget és határértéket!

a) \( P(4220 < X < 4680) = ? \)
\( z_1 = \frac{4220 - 4450}{250} = -0,92; \quad z_2 = \frac{4680 - 4450}{250} = 0,92 \)
\( P = 2 \cdot \Phi(0,92) - 1 = 2 \cdot 0,8212 - 1 = \mathbf{0,6424 \text{ (64,24\%)}} \)

b) Mennyiség, aminél az üvegek 32%-a több üdítőt tartalmaz?
Ez azt jelenti, hogy \( P(X > x) = 0,32 \), tehát \( P(X < x) = 0,68 \).
A táblázatból: \( \Phi(0,47) \approx 0,68 \).
\( 0,47 = \frac{x - 4450}{250} \implies x = 4450 + 0,47 \cdot 250 = \mathbf{4567,5 \text{ ml}} \)

4. feladat: Konfidencia intervallum (Vásárlók)

\( N=700, n=50 \). Kettőnél többször (3 vagy 4 alkalommal) vásárlók vizsgálata.

Vásárlások száma	Vásárlók száma
1	15
2	20
3	10
4	5

Kettőnél többször vásárlók a mintában: \( 10 + 5 = 15 \).
Mintaarány: \( p = 15/50 = \mathbf{0,3 \text{ (30\%)}} \).

a) 98%-os CI az arányra:
\( z_{0,99} = 2,33 \). Standard hiba finit korrekcióval:
\( s_p = \sqrt{\frac{0,3 \cdot 0,7}{50}} \cdot \sqrt{\frac{700-50}{699}} = 0,0648 \cdot 0,964 = 0,0625 \)
Hiba: \( 2,33 \cdot 0,0625 = 0,1456 \).
Intervallum: \( [0,3 - 0,1456; 0,3 + 0,1456] = \mathbf{[15,44\%; 44,56\%]} \)

b) 95%-os CI a létszámra:
\( z_{0,975} = 1,96 \). Hiba: \( 1,96 \cdot 0,0625 = 0,1225 \).
Létszám: \( 700 \cdot 0,3 \pm 700 \cdot 0,1225 = 210 \pm 85,75 \).
Intervallum: \( \mathbf{[124; 296] \text{ fő}} \)