1. Alapfogalmak & Viszonyszámok
Mérési szintek (Skálák)
- Névleges (Nominális): Csak megkülönböztetés (pl. nem, hajszín).
- Sorrendi (Ordinális): Sorrendbe állítható (pl. iskolai végzettség).
- Különbségi (Intervallum): Különbség értelmezhető (pl. hőmérséklet °C).
- Arány: Hányados is értelmezhető, van valódi 0 pont (pl. kor, jövedelem).
Viszonyszámok \( V = \frac{A}{B} \)
- Megoszlási: Rész / Egész (\( g_i = f_i / N \)).
- Koordinációs: Rész / Rész.
- Intenzitási: Különböző fajta adatok hányadosa (pl. népsűrűség).
- Dinamikus: Bázis (\( y_i / y_{base} \)) és Lánc (\( y_i / y_{i-1} \)).
2. Középértékek (Helyzeti & Számított)
Helyzeti középértékek
- Módusz (\(Mo\)): Leggyakoribb érték. Osztályközösnél: \( Mo = x_{i,0} + \frac{k_1}{k_1+k_2} \cdot h \).
- Medián (\(Me\)): Középső érték. Osztályközösnél: \( Me = x_{i,0} + \frac{N/2 - f_{i-1}'}{f_i} \cdot h \).
Számított középértékek (Átlagok)
Számtani: \( \bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{N} \) | Harmonikus: \( \bar{x}_h = \frac{N}{\sum \frac{f_i}{x_i}} \)
Mértani: \( \bar{x}_g = \sqrt[N]{\prod x_i^{f_i}} \) | Négyzetes: \( \bar{x}_q = \sqrt{\frac{\sum f_i x_i^2}{N}} \)
\( \bar{x}_h \leq \bar{x}_g \leq \bar{x} \leq \bar{x}_q \)
3. Szóródási és Alakmutatók
Szórás (\( \sigma \)): \( \sigma = \sqrt{\frac{\sum x_i^2 f_i}{N} - \bar{x}^2} \)
Relatív szórás: \( V = \frac{\sigma}{\bar{x}} \) | Variancia: \( \sigma^2 \)
IQR: \( Q_3 - Q_1 \) | Terjedelem: \( x_{max} - x_{min} \)
Aszimmetria
\( A = \frac{\bar{x} - Mo}{\sigma} \) | \( F = \frac{(Q_3 - Me) - (Me - Q_1)}{IQR} \)
4. Indexszámítás
| Típus |
Laspeyres (bázis) |
Paasche (tárgy) |
| Ár (\( I_p \)) |
\( \frac{\sum q_0 p_1}{\sum q_0 p_0} \) |
\( \frac{\sum q_1 p_1}{\sum q_1 p_0} \) |
| Volumen (\( I_q \)) |
\( \frac{\sum q_1 p_0}{\sum q_0 p_0} \) |
\( \frac{\sum q_1 p_1}{\sum q_0 p_1} \) |
Fisher: \( \sqrt{I^L \cdot I^P} \) | Értékindex: \( I_v = \frac{\sum q_1 p_1}{\sum q_0 p_0} \)
5. Standardizálás
Teljes eltérés: \( K = \bar{V}_1 - \bar{V}_0 \)
Részátlag-hatás: \( K' = \bar{V}_1 - \bar{V}_{st} = \frac{\sum f_1 x_1}{\sum f_1} - \frac{\sum f_1 x_0}{\sum f_1} \)
Összetétel-hatás: \( K'' = \bar{V}_{st} - \bar{V}_0 = \frac{\sum f_1 x_0}{\sum f_1} - \frac{\sum f_0 x_0}{\sum f_0} \)
Összefüggés: \( K = K' + K'' \)
6. Valószínűségszámítás
Bayes-tétel: \( P(B_i | A) = \frac{P(B_i) P(A | B_i)}{\sum P(B_j) P(A | B_j)} \)
Binomiális: \( \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \) | Poisson: \( \frac{\lambda^k}{k!} e^{-\lambda} \)
Normális: \( Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \); \( P(X < x) = \Phi(Z) \)
7. Elméleti Villámkérdések
Mi az arányskála lényege?
A legmagasabb mérési szint. Van valódi 0 pontja, és az értékek hányadosa is értelmezhető (pl. jövedelem, kor).
Mikor használunk harmonikus átlagot?
Ha az intenzitási viszonyszám számlálója (pl. a megtett út) rögzített, és az átlagos értéket (pl. sebesség) keressük.
Milyen az eloszlás, ha A-mutató > 0?
Balra aszimmetrikus, ami azt jelenti, hogy a jobb oldali szára hosszan elnyúlik (jobbra nyúlt).
8. Interaktív Vizsgapéldák
Példa: Átlagok azonosítása
Értékek: 40,0; 35,0; 29,2; 43,7. Melyik melyik?
Válasz: A nagyságrendi szabály (\( \bar{x}_h \leq \bar{x}_g \leq \bar{x} \leq \bar{x}_q \)) alapján:
29,2: Harmonikus | 35,0: Mértani | 40,0: Számtani | 43,7: Négyzetes
Példa: Kvartilis jelentése
Mit jelent, ha \(Q_1 = 15 \text{ perc}\)?
Válasz: A megfigyeltek 25%-a 15 percnél kevesebb, 75%-a pedig 15 percnél több időt töltött az adott tevékenységgel.
Példa: Herfindahl-index
Mennyi a HI értéke, ha 5 cég egyenlő arányban uralja a piacot?
Válasz: \(HI = 1/K = 1/5 = 0,2\). Ez a koncentráció hiányát (egyenletes eloszlást) jelenti.